頂いた問題の進捗 - これは圏です（はてな使ったら負けだとおもっていた）

先日頂いた問題を試験勉強の合間に(現実逃避にとも云う)解いてましたが、問1の式を何とか下の形まで持ってくことが出来ました。

$\prod_{k=1}^{n-1}\sqrt{\{-1+\cos(\frac{2k\pi}{n})\}^{2} + \sin^2(\frac{2k\pi}{n})}\\= \prod_{k=1}^{n-1}\sqrt{1-2\cos(\frac{2k\pi}{n})+\cos^{2}(\frac{2k\pi}{n})+\sin^{2}(\frac{2k\pi}{n})} \\= \prod_{k=1}^{n-1}\sqrt{2 - 2\cos(\frac{2k\pi}{n})}\\= \prod_{k=1}^{n-1}\sqrt{2(1 - \cos\frac{2k\pi}{n})}$
ここで、半角公式を適用して、
$= \prod_{k=1}^{n-1}\sqrt{2\times2\sin^2(\frac{2k\pi}{2n})} \\= \prod_{k=1}^{n-1}\sqrt{2^{2}\sin^2(\frac{k}{n}\pi)} \\= \prod_{k=1}^{n-1}2\sin\frac{k}{n}\pi \\= 2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k}{n}\pi$
πラジアンをn等分して…と云う問題に成りそう。最初から角を何等分して……と云う問題になるんじゃないかとは思ってたけど、矢張り。

まあ勉強……。