一次変換：回転を表す行列の導出 - これは圏です（はてな使ったら負けだとおもっていた）

今日の数学Iの授業中、考えていた事。

今日の数Iは二次函数のグラフについてだった訳ですが。

授業中にクラスメイトが「対称軸がy軸以外に成る事も有るんですか？」と云う質問をしていて、先生は、数学C(そんなのが有るのかぁ)に成るとこんな函数もヤルよと云って90°(π/2 rad *1 )倒した形や、45°(えーとπ/4 radか)回転させたグラフを書いていました。

その時、ふと θrad回転する時の行列が有ったなあと思い出し、最近気に入っている複素平面と極座標を使って導出出来無いかと思い立ってやってみることにしました*2。

本当はグラフとか図を沢山載せたいんですが、やり方が分からないので……。

先ず、ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}$ は複素数 z = p + qi と同一視出来ます(というか、複素平面上では其のモノです)。

さて、

$z_1, z_2\in \mathbb{Z}\\z_1=\langle s_1, \phi_1\rangle \\ z_2 = \langle s_2, \phi_2\rangle$

とすると、 $z_1\times z_2=\langle s_1s_2, \phi_1+\phi_2\rangle$ である。

今、任意の複素数zをθrad回転することを考えると、それは次の様な複素数 w(θ) を掛けるのと等価である。
$w(\theta) = \langle 1, \theta \rangle$

此の時、

$w(\theta) = \cos{\theta} + i\sin{\theta}$

である*3。

z = p + qi とすると、

z × w(θ)
= (p + qi)(cosθ + isinθ
= p cosθ + p(sinθ)i + q(cosθ)i - q sinθ
= (p cosθ - qsinθ) + (p sinθ + q cosθ)i

と成る。

さて、p + qi は $\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}$ と同一視出来るので、
$z\times w(\theta) = (p \cos\theta - q\sin\theta) + (p \sin\theta + q \cos\theta)i \\\Leftrightarrow\begin{pmatrix}p \cos\theta - q\sin\theta \\p \sin\theta + q \cos\theta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p \\q\end{pmatrix}$