集合論で感動したこと
対角線論法は前から知ってた。でもやっぱりこれは凄いと思った。
新たに知ったことで感動したのは、R ~ P(N)、つまり、実数の濃度と自然数全体の集合の巾集合*1の濃度が等しいこと。
それから、前に万物が集合って書いたけど、写像もなんと集合だったりとか。あと順序関係や同値関係とかもね。すごいぞ集合。
それと、やっぱり、順序数を構成していくところかな。順序数って云うのは、順番を表す数のことです。最初は何の存在も仮定せずに、どんどん数字を作っていって仕舞う。
先ず、何も含まない集合(空集合と言います)を0として、次のように順序数を定義していきます。
1 <=> {0}
2 <=> {0,1}
3 <=> {0,1,2}
一般に、
n + 1<=> {0, ... n}
つまり、「今まで作った順序数全部の集合」を次の順序数とするわけです。
さて、この作業をずーっと繰り返していって、自然数全部を作り出したとしましょう。その時、自然数全体の集合ωは、
ω = {0,1,2,..}
となりますが、これも又、「今まで作った順序数全部の集合」なので、これも順序数です。いわば無限の”向こう側”にある順序数とでも云うべきでしょうか。
ところが、まだこれで終わりではありません。
A = {0,1,2,... ω}とすれば、定義よりAは順序数ω+1となります。そこで、
A2 = {0,1,2, ... ω, ω+1, ...}とすれば、A2は、ω+ω = ω2となります。
以下、同じようにどんどん繰り返していくことによって、ω3, ω4, ... ωk, ... ωω(=ω^2), ... ω^k, ... ω^ω,...
と無限に順序数を作り出していくことが出来ます。すごいなあ……
今日はここまで。
